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Table 4 Enumeration of 48 EDS response types and corresponding potential outcomes

From: A counterfactual approach to bias and effect modification in terms of response types

Etype Dtype Stype Potential outcomes of E Potential outcomes of D Compound potential outcomes of D Potential outcomes of S Selection status
E T( ω) D T( ω) S T( ω) E c ( ω) D ce ( ω) D c E c ' ω S ed ( ω) S E c D c E c ω
    E 1 E 0 D 11 D 01 D 10 D 00 D 1 E 1 D 1 E 0 D 0 E 1 D 0 E 0 S 11 S 01 S 10 S 00 S E 1 D 1 E 1 S E 0 D 0 E 0
1 1 1 1 1 1 1 (1)a (1) 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) (1) 1 1
1 1 4 1 1 1 1 (1) (1) 1 (1) (1) 1 1 (1) (0) (0) 1 1
1 1 6 1 1 1 1 (1) (1) 1 (1) (1) 1 1 (0) (1) (0) 1 1
1 1 16 1 1 1 1 (1) (1) 1 (1) (1) 1 0 (0) (0) (0) 0 0
1 4 1 1 1 1 1 (0) (0) 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) (1) 1 1
1 4 4 1 1 1 1 (0) (0) 1 (1) (1) 1 1 (1) (0) (0) 1 1
1 4 6 1 1 1 1 (0) (0) 1 (1) (1) 1 1 (0) (1) (0) 1 1
1 4 16 1 1 1 1 (0) (0) 1 (1) (1) 1 0 (0) (0) (0) 0 0
1 6 1 1 1 1 0 (1) (0) 1 (1) (0) 0 1 (1) 1 (1) 1 1
1 6 4 1 1 1 0 (1) (0) 1 (1) (0) 0 1 (1) 0 (0) 1 0
1 6 6 1 1 1 0 (1) (0) 1 (1) (0) 0 1 (0) 1 (0) 1 1
1 6 16 1 1 1 0 (1) (0) 1 (1) (0) 0 0 (0) 0 (0) 0 0
1 16 1 1 1 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 1 (1) 1 (1) 1 1
1 16 4 1 1 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 1 (1) 0 (0) 0 0
1 16 6 1 1 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 1 (0) 1 (0) 1 1
1 16 16 1 1 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 0 (0) 0 (0) 0 0
2 1 1 1 0 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) 1 1 1 (1) (1) 1 1
2 1 4 1 0 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) 1 1 1 (0) (0) 1 1
2 1 6 1 0 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) 1 1 0 (1) (0) 1 0
2 1 16 1 0 1 (1) (1) 1 1 (1) (1) 1 0 0 (0) (0) 0 0
2 4 1 1 0 1 (1) (0) 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (1) 1 1 1
2 4 4 1 0 1 (1) (0) 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (0) 0 1 0
2 4 6 1 0 1 (1) (0) 0 1 (0) (1) 0 1 (0) (1) 0 1 0
2 4 16 1 0 1 (1) (0) 0 1 (0) (1) 0 0 (0) (0) 0 0 0
2 6 1 1 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (0) 0 1 (1) (1) 1 1 1
2 6 4 1 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (0) 0 1 (1) (0) 0 1 0
2 6 6 1 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (0) 0 1 (0) (1) 0 1 0
2 6 16 1 0 1 (0) (1) 0 1 (1) (0) 0 0 (0) (0) 0 0 0
2 16 1 1 0 0 (0) (0) 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) 1 1 1 1
2 16 4 1 0 0 (0) (0) 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) 0 0 0 0
2 16 6 1 0 0 (0) (0) 0 0 (0) (0) 0 (1) (0) 1 0 1 0
2 16 16 1 0 0 (0) (0) 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 0 0 0
4 1 1 0 0 (1) (1) 1 1 1 (1) (1) 1 (1) 1 (1) (1) 1 1
4 1 4 0 0 (1) (1) 1 1 1 (1) (1) 1 (1) 1 (0) (0) 1 1
4 1 6 0 0 (1) (1) 1 1 1 (1) (1) 1 (1) 0 (1) (0) 0 0
4 1 16 0 0 (1) (1) 1 1 1 (1) (1) 1 (0) 0 (0) (0) 0 0
4 4 1 0 0 (1) (1) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) (1) 1 1 1
4 4 4 0 0 (1) (1) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) (0) 0 0 0
4 4 6 0 0 (1) (1) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (0) (1) 0 0 0
4 4 16 0 0 (1) (1) 0 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) (0) 0 0 0
4 6 1 0 0 (1) (0) 1 0 1 (1) (0) 0 (1) 1 (1) 1 1 1
4 6 4 0 0 (1) (0) 1 0 1 (1) (0) 0 (1) 1 (0) 0 1 0
4 6 6 0 0 (1) (0) 1 0 1 (1) (0) 0 (1) 0 (1) 0 0 0
4 6 16 0 0 (1) (0) 1 0 1 (1) (0) 0 (0) 0 (0) 0 0 0
4 16 1 0 0 (0) (0) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) (1) 1 1 1
4 16 4 0 0 (0) (0) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (1) (0) 0 0 0
4 16 6 0 0 (0) (0) 0 0 0 (0) (0) 0 (1) (0) (1) 0 0 0
4 16 16 0 0 (0) (0) 0 0 0 (0) (0) 0 (0) (0) (0) 0 0 0
  1. We consider 4 binary variables as follows: exposure E, outcome D, confounder C, and selection variable S (see Figure 1). We show the enumeration under the assumptions of positive monotonicity of E, D, and S and no interaction at the individual level on the additive scale between C and E on D and E and D on S in the counterfactual framework.
  2. a Parentheses indicate that this particular outcome will never be observed.