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Table 4 Enumeration of 48 EDS response types and corresponding potential outcomes

From: A counterfactual approach to bias and effect modification in terms of response types

Etype

Dtype

Stype

Potential outcomes of E

Potential outcomes of D

Compound potential outcomes of D

Potential outcomes of S

Selection status

E T( ω)

D T( ω)

S T( ω)

E c ( ω)

D ce ( ω)

D c E c ' ω

S ed ( ω)

S E c D c E c ω

   

E 1

E 0

D 11

D 01

D 10

D 00

D 1 E 1

D 1 E 0

D 0 E 1

D 0 E 0

S 11

S 01

S 10

S 00

S E 1 D 1 E 1

S E 0 D 0 E 0

1

1

1

1

1

1

1

(1)a

(1)

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

(1)

1

1

1

1

4

1

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(0)

(0)

1

1

1

1

6

1

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

(1)

1

1

(0)

(1)

(0)

1

1

1

1

16

1

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

(1)

1

0

(0)

(0)

(0)

0

0

1

4

1

1

1

1

1

(0)

(0)

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

(1)

1

1

1

4

4

1

1

1

1

(0)

(0)

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(0)

(0)

1

1

1

4

6

1

1

1

1

(0)

(0)

1

(1)

(1)

1

1

(0)

(1)

(0)

1

1

1

4

16

1

1

1

1

(0)

(0)

1

(1)

(1)

1

0

(0)

(0)

(0)

0

0

1

6

1

1

1

1

0

(1)

(0)

1

(1)

(0)

0

1

(1)

1

(1)

1

1

1

6

4

1

1

1

0

(1)

(0)

1

(1)

(0)

0

1

(1)

0

(0)

1

0

1

6

6

1

1

1

0

(1)

(0)

1

(1)

(0)

0

1

(0)

1

(0)

1

1

1

6

16

1

1

1

0

(1)

(0)

1

(1)

(0)

0

0

(0)

0

(0)

0

0

1

16

1

1

1

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

0

1

(1)

1

(1)

1

1

1

16

4

1

1

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

0

1

(1)

0

(0)

0

0

1

16

6

1

1

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

0

1

(0)

1

(0)

1

1

1

16

16

1

1

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

0

0

(0)

0

(0)

0

0

2

1

1

1

0

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

1

1

1

(1)

(1)

1

1

2

1

4

1

0

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

1

1

1

(0)

(0)

1

1

2

1

6

1

0

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

1

1

0

(1)

(0)

1

0

2

1

16

1

0

1

(1)

(1)

1

1

(1)

(1)

1

0

0

(0)

(0)

0

0

2

4

1

1

0

1

(1)

(0)

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(1)

1

1

1

2

4

4

1

0

1

(1)

(0)

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(0)

0

1

0

2

4

6

1

0

1

(1)

(0)

0

1

(0)

(1)

0

1

(0)

(1)

0

1

0

2

4

16

1

0

1

(1)

(0)

0

1

(0)

(1)

0

0

(0)

(0)

0

0

0

2

6

1

1

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(0)

0

1

(1)

(1)

1

1

1

2

6

4

1

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(0)

0

1

(1)

(0)

0

1

0

2

6

6

1

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(0)

0

1

(0)

(1)

0

1

0

2

6

16

1

0

1

(0)

(1)

0

1

(1)

(0)

0

0

(0)

(0)

0

0

0

2

16

1

1

0

0

(0)

(0)

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

1

1

1

1

2

16

4

1

0

0

(0)

(0)

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

0

0

0

0

2

16

6

1

0

0

(0)

(0)

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(0)

1

0

1

0

2

16

16

1

0

0

(0)

(0)

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

0

0

0

0

4

1

1

0

0

(1)

(1)

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

1

(1)

(1)

1

1

4

1

4

0

0

(1)

(1)

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

1

(0)

(0)

1

1

4

1

6

0

0

(1)

(1)

1

1

1

(1)

(1)

1

(1)

0

(1)

(0)

0

0

4

1

16

0

0

(1)

(1)

1

1

1

(1)

(1)

1

(0)

0

(0)

(0)

0

0

4

4

1

0

0

(1)

(1)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

(1)

1

1

1

4

4

4

0

0

(1)

(1)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

(0)

0

0

0

4

4

6

0

0

(1)

(1)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(0)

(1)

0

0

0

4

4

16

0

0

(1)

(1)

0

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

(0)

0

0

0

4

6

1

0

0

(1)

(0)

1

0

1

(1)

(0)

0

(1)

1

(1)

1

1

1

4

6

4

0

0

(1)

(0)

1

0

1

(1)

(0)

0

(1)

1

(0)

0

1

0

4

6

6

0

0

(1)

(0)

1

0

1

(1)

(0)

0

(1)

0

(1)

0

0

0

4

6

16

0

0

(1)

(0)

1

0

1

(1)

(0)

0

(0)

0

(0)

0

0

0

4

16

1

0

0

(0)

(0)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

(1)

1

1

1

4

16

4

0

0

(0)

(0)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(1)

(0)

0

0

0

4

16

6

0

0

(0)

(0)

0

0

0

(0)

(0)

0

(1)

(0)

(1)

0

0

0

4

16

16

0

0

(0)

(0)

0

0

0

(0)

(0)

0

(0)

(0)

(0)

0

0

0

  1. We consider 4 binary variables as follows: exposure E, outcome D, confounder C, and selection variable S (see Figure 1). We show the enumeration under the assumptions of positive monotonicity of E, D, and S and no interaction at the individual level on the additive scale between C and E on D and E and D on S in the counterfactual framework.
  2. a Parentheses indicate that this particular outcome will never be observed.